Γ' Λυκείου Νο 137

Έστω f:R→R συνάρτηση “1–1” και τέτοια ώστε f(2)<f(1)<f(3).

Δείξτε ότι η f δεν είναι συνεχής.

........

Γ' Λυκείου Νο 136

Αν f συνεχής στο [0, 4], τότε υπάρχει ξєR τέτοιο ώστε

........

Γ' Λυκείου Νο 135

Έστω f:R→R, συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε

Να αποδειχθεί ότι f(R)=R.

........

Γ' Λυκείου Νο 134

Για μια συνάρτηση f:R→R ισχύει ότι

α) Να βρεθεί το

β) Να αποδειχθεί ότι

........

Γ' Λυκείου Νο 133

Για τη συνάρτηση f ισχύει

α) Να βρεθεί το

β) Να βρεθεί το λ, έτσι ώστε να ισχύει

........

Γ' Λυκείου Νο 130

Έστω f, g:R→R συνεχείς συναρτήσεις με την ίδια μέγιστη τιμή.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει kє[0, 1], τέτοιο ώστε

........

Γ' Λυκείου Νο 129

Έστω f συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο [α, β] και

Να αποδειχθεί ότι αν

τότε η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].

........

Γ' Λυκείου Νο 128

Έστω η συνάρτηση f με

i) Να βρεθούν τα

ii) Να βρεθούν τα α, βєR, ,ώστε η f να είναι συνεχής στο x₀=5

iii) Για τις τιμές των α, β (του ii ερωτήματος), να βρεθεί το

Απάντηση: ii) α=-1, β=0

iii) +oo

........

Γ' Λυκείου Νο 127

Να βρεθεί ο t αν

Απάντηση: 1 ή 2

........

Γ' Λυκείου Νο 122

Έστω συνάρτηση f:R→R, για την οποία ισχύει

Να βρεθεί η f.

Απάντηση: f(x)=x+2

........

Γ' Λυκείου Νο 121

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι συναρτήσεις f, g με τύπους

να έχουν όριο πραγματικό αριθμό στο σημείο x₀ = 0.

Απάντηση: α=2, β=-4

........

Γ' Λυκείου Νο 115

Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο R και τέτοια ώστε

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξє(0, 2) τέτοιο ώστε f(ξ)=f(ξ+1)

........

Γ' Λυκείου Νο 107

Έστω συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο [α, β] και της οποίας οι τιμές στα α, β είναι ρίζες της εξίσωσης t²-1972t-1953=0. Να αποδειχθεί ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).

........

Γ' Λυκείου Νο 106

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (-1, e-2)

........

Γ' Λυκείου Νο 101

Έστω συνάρτηση f: R→R τέτοια ώστε 2f ³(x)+f(x)=kx, k>0.

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι “1-1”.

β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχείς και να βρεθεί το

Απάντηση:

........

Γ' Λυκείου Νο 100

Να προσδιορισθούν τα α, β έτσι ώστε

να είναι συνεχής στο R.

Απάντηση: α=4, β=5/3

........

Γ' Λυκείου Νο 99

Έστω συνάρτηση f: (0,+οο)→R για την οποία ισχύει (για όλα τα x)

Να βρεθεί το

Απάντηση: -1

........

Γ' Λυκείου Νο 88

Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο [-1,1] τέτοια ώστε για κάθε xє[-1,1] να ισχύει:

α) Να βρεθεί το f(0)

β) Να βρεθεί το λєR, έτσι ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

γ) Για την τιμή του λ που βρέθηκε προηγουμένως, να αποδειχθεί ότι η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [-1,1].

Απάντηση: α) f(0)=0 β) λ=1

........

Γ' Λυκείου Νο 84

Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [1,4] για την οποία ισχύουν:

i) f(x)≠0 για κάθε xє[1,4].

ii) f(1)>0

iii) f(1) f(2) = f(3) f(4)

Να αποδειχθεί ότι:

α) f(x) >0 για κάθε xє[1,4],

β) Η συνάρτηση g(x) = f²(x) - f(1) f(2) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

γ) Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.

........

Γ' Λυκείου Νο 75

Έστω f:R→R αύξουσα συνάρτηση τέτοια ώστε για όλα τα x να ισχύει

f(f(x))=λx³,

λ σταθερός πραγματικός αριθμός. Να αποδειχθεί ότι

α) Αν λ≠0, τότε να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β) Να βρεθεί μία τουλάχιστον συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα στις περιπτώσεις όπου λ=0, λ>0.

γ) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα, όταν λ<0

Απάντηση: β) f(x)=0,

........