Ισούται με το τετράγωνο: 3. Γ' Λυκ. (Κατεύθυνση) Διαφορικός λογισμός

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα 3. Γ' Λυκ. (Κατεύθυνση) Διαφορικός λογισμός. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Γ' Λυκείου Νο 153

Να αποδειχθεί ότι μόνο αν α²>3β η συνάρτηση

f(x)=x³+αx²+βx+γ

θα έχει τοπικά ακρότατα σε δύο σημεία. Να υπολογισθούν τότε τα α, β, γ ώστε τα ακρότατα να παρουσιάζονται για x=1 και x=-1 και η ακρότατη τιμή για x=-1 να είναι 5.

Απάντηση: α=0, β=-3, γ=3

........

Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ενός πολυωνύμου P(x), να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης P΄(x)=0 και μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της εξίσωσης P΄(x)=0 να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία το πολύ ρίζα της P(x)=0.

........

Γ' Λυκείου Νο 151

Δίνεται η συνάρτηση

α) Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο 0 και παραγωγίσιμη.

β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Να αποδειχθεί ότι η f(x)=0 έχει δύο ακριβώς πραγματικές λύσεις.

........

Γ' Λυκείου Νο 150

Έστω η συνάρτηση f(x)=x⁷+2x³+x+3.

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία πραγματική ρίζα και έξι μιγαδικές.

........

Γ' Λυκείου Νο 149

Έστω η συνάρτηση f:[0, 1]→R, για την οποία ισχύουν

α) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0, 1]

β) f(0)=f(1)

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f΄(x)-6x+3=0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0, 1).

........

Γ' Λυκείου Νο 148

να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή στο R.

........

Γ' Λυκείου Νο 147

και f(1)=0, να αποδειχθεί ότι η f δεν παραγωγίζεται στο x₀=1.

........

Γ' Λυκείου Νο 146

Να βρεθεί η πολυωνυμική συνάρτηση P(x) αν

Απάντηση: P(x)=x²+4x+4 ή P(x)=x²-4x+4

........

Γ' Λυκείου Νο 120

Έστω η συνάρτηση

Να εξετάσετε αν η C_fέχει οριζόντια εφαπτομένη, αφού αποδείξετε ότι

........

Γ' Λυκείου Νο 114

Έστω f(x)=αx³+βx²+γx+δ . Να βρεθούν τα α, β, γ, δ ώστε η f να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο με τετμημένη 1, καμπή στο σημείο με τετμημένη –1 και η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη 0 να είναι η y=2x+5.

Απάντηση: α=-2/9, β=-2/3, γ=2, δ=5

........

Γ' Λυκείου Νο 113

Έστω συνάρτηση f:[1, 2]→R για την οποία ισχύουν

α. Δείξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξє(1, 2) τέτοιο ώστε

β. Για xє(1, 2), να αποδειχθεί ότι

........

Γ' Λυκείου Νο 105

Δίνονται οι συναρτήσεις F, g ορισμένες στο R με

Αν η C_f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x, να μελετηθεί η g ως προς την κυρτότητα

........

Γ' Λυκείου Νο 102

Δίνεται συνάρτηση

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να αποδείξετε ότι

........

Γ' Λυκείου Νο 94

Έστω f μια πολυωνυμική συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι αν η f μηδενίζεται για ν διαφορετικές πραγματικές τιμές του x, τότε η f’ μηδενίζεται για τουλάχιστον ν-1 τιμές του x.

........

Γ' Λυκείου Νο 93

Έστω η συνάρτηση f:R→R, τέτοια ώστε

Αν f(1)-1=π και η f παραγωγίζεται στο R, τότε

α) Να βρεθεί το f(0)

β) Να αποδειχθεί ότι

γ) Να αποδειχθεί ότι

Απάντηση: α) 1

........

Γ' Λυκείου Νο 85

Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f(x)>0 για κάθε xєR.
Αν η συνάρτηση g(x) = lnf(x) είναι κυρτή στο R με g΄(x)≠0, xєR, να αποδειχθεί ότι η f είναι είναι κυρτή στο R.

........