και τα σημεία
α) Να επαληθεύσετε ότι τα σημεία Α, Β ανήκουν στη γραφική παράσταση της f.
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι εφαπτομένη της Cf.
γ) Για ένα μιγαδικό αριθμό z είναι γνωστό ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στην Cf. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του z.
α) Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου, για τους οποίους ισχύει
είναι κύκλος με κέντρο την εικόνα του w.
β) Αν w = 4 και ρ η ακτίνα του παραπάνω κύκλου, τότε να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=xlnx, την ασύμπτωτη στο +∞ της συνάρτησης
την κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης
και την ευθεία x=ρ.
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F.
β) Να βρεθεί η F΄.
γ) Να βρεθούν τα x για τα οποία ισχύει
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να βρείτε την αντίστροφη της f.
γ) Έστω
Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 είναι g(x)=0.
μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση και
α) Να αποδειχθεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η g΄(x).
β) Να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να αποδειχθεί ότι
και η γραφική παράσταση της g τέμνει τον y΄y στο ίδιο σημείο που τον τέμνει και η f ενώ βρίσκεται όλη πάνω από την ευθεία y=1.
α) Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως αύξουσες.
β) Να βρεθούν οι συναρτήσεις f και g και να δειχθεί ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.
γ) Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g.
α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του z.
β) Να εξετάσετε αν μπορεί να ισχύει w=z.
γ) Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους μιγαδικούς z μπορεί να πάρει τη μορφή
Να αποδειχθεί ότι
Β) Έστω f συνεχής στο R με
i) Να βρεθεί ο τύπος της f.
ii) Να αποδειχθεί ότι
iii) Να βρεθεί το
και η συνάρτηση f(x)=|z(x)|.
α) Να βρεθεί ο zєC με το μεγελύτερο μέτρο.
β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
γ) Να αποδειχθεί ότι η Cf και η x=y έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο Α(xo,yo) με xoє(1, 2).
δ) Να υπολογισθεί το
α) Να λυθεί η εξίσωση f(z)=2-i.
β) Να βρεθεί το |z| αν είναι
γ) Αν |z|=1, να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=f(z) είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
α) Να αποδειχθεί ότι
β) Αν |z|=ρ και Arg(z)=θ, να αποδειχθεί ότι
γ) Αν |z|=2 και Arg(z)=π/3, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, z, και f(13).
η οποία έχει τρεις ρίζες ρ1<ρ2<ρ3 στο R.
α) Να αποδειχθεί ότι
β) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει δύο ακρότατα διαφορετικού είδους.
γ) Να αποδειχθεί ότι
δ) Να αποδειχθεί ότι αν xo θέση τοπικού ακρότατου της f, τότε ισχύει
α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι «1-1».
β) Να βρεθεί ο τύπος της f-1.
γ) Να λυθεί η εξίσωση
α) Να βρεθεί ο τύπος της f.
β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή στο R.
Έστω ρ το μέτρο και θ ένα όρισμα του μιγαδικού z+2i.
α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της εικόνας Α του μιγαδικού zο στο μιγαδικό επίπεδο, για τον οποίο ισχύει f(zο)=3+i.
β) Να βρείτε συναρτήσει των ρ και θ, το μέτρο και ένα όρισμα του μιγαδικού f(z)-2.
γ) Αν είναι
να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο c, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
δ) Αν είναι
να αποδειχθεί ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε μία ημιευθεία ε.
ε) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α ανήκει στον κύκλο c και στην ημιευθεία ε.
